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Algèbre linéaire Exemples
Étape 1
Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique .
Étape 2
La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille est la matrice carrée avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.
Étape 3
Étape 3.1
Remplacez par .
Étape 3.2
Remplacez par .
Étape 4
Étape 4.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 4.1.1
Multipliez par chaque élément de la matrice.
Étape 4.1.2
Simplifiez chaque élément dans la matrice.
Étape 4.1.2.1
Multipliez par .
Étape 4.1.2.2
Multipliez .
Étape 4.1.2.2.1
Multipliez par .
Étape 4.1.2.2.2
Multipliez par .
Étape 4.1.2.3
Multipliez .
Étape 4.1.2.3.1
Multipliez par .
Étape 4.1.2.3.2
Multipliez par .
Étape 4.1.2.4
Multipliez .
Étape 4.1.2.4.1
Multipliez par .
Étape 4.1.2.4.2
Multipliez par .
Étape 4.1.2.5
Multipliez .
Étape 4.1.2.5.1
Multipliez par .
Étape 4.1.2.5.2
Multipliez par .
Étape 4.1.2.6
Multipliez par .
Étape 4.1.2.7
Multipliez .
Étape 4.1.2.7.1
Multipliez par .
Étape 4.1.2.7.2
Multipliez par .
Étape 4.1.2.8
Multipliez .
Étape 4.1.2.8.1
Multipliez par .
Étape 4.1.2.8.2
Multipliez par .
Étape 4.1.2.9
Multipliez .
Étape 4.1.2.9.1
Multipliez par .
Étape 4.1.2.9.2
Multipliez par .
Étape 4.1.2.10
Multipliez .
Étape 4.1.2.10.1
Multipliez par .
Étape 4.1.2.10.2
Multipliez par .
Étape 4.1.2.11
Multipliez par .
Étape 4.1.2.12
Multipliez .
Étape 4.1.2.12.1
Multipliez par .
Étape 4.1.2.12.2
Multipliez par .
Étape 4.1.2.13
Multipliez .
Étape 4.1.2.13.1
Multipliez par .
Étape 4.1.2.13.2
Multipliez par .
Étape 4.1.2.14
Multipliez .
Étape 4.1.2.14.1
Multipliez par .
Étape 4.1.2.14.2
Multipliez par .
Étape 4.1.2.15
Multipliez .
Étape 4.1.2.15.1
Multipliez par .
Étape 4.1.2.15.2
Multipliez par .
Étape 4.1.2.16
Multipliez par .
Étape 4.2
Additionnez les éléments correspondants.
Étape 4.3
Simplify each element.
Étape 4.3.1
Additionnez et .
Étape 4.3.2
Additionnez et .
Étape 4.3.3
Additionnez et .
Étape 4.3.4
Additionnez et .
Étape 4.3.5
Additionnez et .
Étape 4.3.6
Additionnez et .
Étape 4.3.7
Additionnez et .
Étape 4.3.8
Additionnez et .
Étape 4.3.9
Additionnez et .
Étape 4.3.10
Additionnez et .
Étape 4.3.11
Additionnez et .
Étape 4.3.12
Additionnez et .
Étape 5
Étape 5.1
Choose the row or column with the most elements. If there are no elements choose any row or column. Multiply every element in row by its cofactor and add.
Étape 5.1.1
Consider the corresponding sign chart.
Étape 5.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a position on the sign chart.
Étape 5.1.3
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Étape 5.1.4
Multiply element by its cofactor.
Étape 5.1.5
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Étape 5.1.6
Multiply element by its cofactor.
Étape 5.1.7
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Étape 5.1.8
Multiply element by its cofactor.
Étape 5.1.9
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Étape 5.1.10
Multiply element by its cofactor.
Étape 5.1.11
Add the terms together.
Étape 5.2
Évaluez .
Étape 5.2.1
Choose the row or column with the most elements. If there are no elements choose any row or column. Multiply every element in row by its cofactor and add.
Étape 5.2.1.1
Consider the corresponding sign chart.
Étape 5.2.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a position on the sign chart.
Étape 5.2.1.3
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Étape 5.2.1.4
Multiply element by its cofactor.
Étape 5.2.1.5
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Étape 5.2.1.6
Multiply element by its cofactor.
Étape 5.2.1.7
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Étape 5.2.1.8
Multiply element by its cofactor.
Étape 5.2.1.9
Add the terms together.
Étape 5.2.2
Évaluez .
Étape 5.2.2.1
Le déterminant d’une matrice peut être déterminé en utilisant la formule .
Étape 5.2.2.2
Simplifiez le déterminant.
Étape 5.2.2.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 5.2.2.2.1.1
Développez à l’aide de la méthode FOIL.
Étape 5.2.2.2.1.1.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.2.2.2.1.1.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.2.2.2.1.1.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.2.2.2.1.2
Simplifiez et associez les termes similaires.
Étape 5.2.2.2.1.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 5.2.2.2.1.2.1.1
Multipliez par .
Étape 5.2.2.2.1.2.1.2
Multipliez par .
Étape 5.2.2.2.1.2.1.3
Multipliez par .
Étape 5.2.2.2.1.2.1.4
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 5.2.2.2.1.2.1.5
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 5.2.2.2.1.2.1.5.1
Déplacez .
Étape 5.2.2.2.1.2.1.5.2
Multipliez par .
Étape 5.2.2.2.1.2.1.6
Multipliez par .
Étape 5.2.2.2.1.2.1.7
Multipliez par .
Étape 5.2.2.2.1.2.2
Soustrayez de .
Étape 5.2.2.2.1.3
Multipliez par .
Étape 5.2.2.2.2
Associez les termes opposés dans .
Étape 5.2.2.2.2.1
Soustrayez de .
Étape 5.2.2.2.2.2
Additionnez et .
Étape 5.2.2.2.3
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.3
Évaluez .
Étape 5.2.3.1
Le déterminant d’une matrice peut être déterminé en utilisant la formule .
Étape 5.2.3.2
Simplifiez le déterminant.
Étape 5.2.3.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 5.2.3.2.1.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.2.3.2.1.2
Multipliez par .
Étape 5.2.3.2.1.3
Multipliez par .
Étape 5.2.3.2.1.4
Multipliez par .
Étape 5.2.3.2.2
Associez les termes opposés dans .
Étape 5.2.3.2.2.1
Soustrayez de .
Étape 5.2.3.2.2.2
Additionnez et .
Étape 5.2.4
Évaluez .
Étape 5.2.4.1
Le déterminant d’une matrice peut être déterminé en utilisant la formule .
Étape 5.2.4.2
Simplifiez le déterminant.
Étape 5.2.4.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 5.2.4.2.1.1
Multipliez par .
Étape 5.2.4.2.1.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.2.4.2.1.3
Multipliez par .
Étape 5.2.4.2.1.4
Multipliez par .
Étape 5.2.4.2.2
Soustrayez de .
Étape 5.2.4.2.3
Additionnez et .
Étape 5.2.5
Simplifiez le déterminant.
Étape 5.2.5.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 5.2.5.1.1
Développez à l’aide de la méthode FOIL.
Étape 5.2.5.1.1.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.2.5.1.1.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.2.5.1.1.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.2.5.1.2
Simplifiez et associez les termes similaires.
Étape 5.2.5.1.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 5.2.5.1.2.1.1
Multipliez par .
Étape 5.2.5.1.2.1.2
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 5.2.5.1.2.1.2.1
Déplacez .
Étape 5.2.5.1.2.1.2.2
Multipliez par .
Étape 5.2.5.1.2.1.2.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 5.2.5.1.2.1.2.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 5.2.5.1.2.1.2.3
Additionnez et .
Étape 5.2.5.1.2.1.3
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 5.2.5.1.2.1.4
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 5.2.5.1.2.1.4.1
Déplacez .
Étape 5.2.5.1.2.1.4.2
Multipliez par .
Étape 5.2.5.1.2.1.5
Multipliez par .
Étape 5.2.5.1.2.2
Additionnez et .
Étape 5.2.5.1.3
Multipliez par .
Étape 5.2.5.1.4
Multipliez par .
Étape 5.2.5.2
Additionnez et .
Étape 5.2.5.3
Associez les termes opposés dans .
Étape 5.2.5.3.1
Additionnez et .
Étape 5.2.5.3.2
Additionnez et .
Étape 5.2.5.4
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.3
Évaluez .
Étape 5.3.1
Choose the row or column with the most elements. If there are no elements choose any row or column. Multiply every element in row by its cofactor and add.
Étape 5.3.1.1
Consider the corresponding sign chart.
Étape 5.3.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a position on the sign chart.
Étape 5.3.1.3
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Étape 5.3.1.4
Multiply element by its cofactor.
Étape 5.3.1.5
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Étape 5.3.1.6
Multiply element by its cofactor.
Étape 5.3.1.7
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Étape 5.3.1.8
Multiply element by its cofactor.
Étape 5.3.1.9
Add the terms together.
Étape 5.3.2
Évaluez .
Étape 5.3.2.1
Le déterminant d’une matrice peut être déterminé en utilisant la formule .
Étape 5.3.2.2
Simplifiez le déterminant.
Étape 5.3.2.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 5.3.2.2.1.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.3.2.2.1.2
Multipliez par .
Étape 5.3.2.2.1.3
Multipliez par .
Étape 5.3.2.2.1.4
Multipliez par .
Étape 5.3.2.2.2
Associez les termes opposés dans .
Étape 5.3.2.2.2.1
Soustrayez de .
Étape 5.3.2.2.2.2
Additionnez et .
Étape 5.3.3
Évaluez .
Étape 5.3.3.1
Le déterminant d’une matrice peut être déterminé en utilisant la formule .
Étape 5.3.3.2
Simplifiez le déterminant.
Étape 5.3.3.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 5.3.3.2.1.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.3.3.2.1.2
Multipliez par .
Étape 5.3.3.2.1.3
Multipliez par .
Étape 5.3.3.2.1.4
Multipliez par .
Étape 5.3.3.2.2
Associez les termes opposés dans .
Étape 5.3.3.2.2.1
Soustrayez de .
Étape 5.3.3.2.2.2
Additionnez et .
Étape 5.3.4
Évaluez .
Étape 5.3.4.1
Le déterminant d’une matrice peut être déterminé en utilisant la formule .
Étape 5.3.4.2
Simplifiez le déterminant.
Étape 5.3.4.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 5.3.4.2.1.1
Multipliez par .
Étape 5.3.4.2.1.2
Multipliez par .
Étape 5.3.4.2.2
Soustrayez de .
Étape 5.3.5
Simplifiez le déterminant.
Étape 5.3.5.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 5.3.5.1.1
Multipliez par .
Étape 5.3.5.1.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.3.5.1.3
Multipliez par .
Étape 5.3.5.1.4
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 5.3.5.1.5
Simplifiez chaque terme.
Étape 5.3.5.1.5.1
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 5.3.5.1.5.1.1
Déplacez .
Étape 5.3.5.1.5.1.2
Multipliez par .
Étape 5.3.5.1.5.2
Multipliez par .
Étape 5.3.5.1.6
Multipliez par .
Étape 5.3.5.2
Associez les termes opposés dans .
Étape 5.3.5.2.1
Additionnez et .
Étape 5.3.5.2.2
Soustrayez de .
Étape 5.3.5.3
Additionnez et .
Étape 5.4
Évaluez .
Étape 5.4.1
Choose the row or column with the most elements. If there are no elements choose any row or column. Multiply every element in row by its cofactor and add.
Étape 5.4.1.1
Consider the corresponding sign chart.
Étape 5.4.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a position on the sign chart.
Étape 5.4.1.3
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Étape 5.4.1.4
Multiply element by its cofactor.
Étape 5.4.1.5
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Étape 5.4.1.6
Multiply element by its cofactor.
Étape 5.4.1.7
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Étape 5.4.1.8
Multiply element by its cofactor.
Étape 5.4.1.9
Add the terms together.
Étape 5.4.2
Évaluez .
Étape 5.4.2.1
Le déterminant d’une matrice peut être déterminé en utilisant la formule .
Étape 5.4.2.2
Simplifiez le déterminant.
Étape 5.4.2.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 5.4.2.2.1.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.4.2.2.1.2
Multipliez par .
Étape 5.4.2.2.1.3
Multipliez par .
Étape 5.4.2.2.1.4
Multipliez par .
Étape 5.4.2.2.2
Associez les termes opposés dans .
Étape 5.4.2.2.2.1
Soustrayez de .
Étape 5.4.2.2.2.2
Additionnez et .
Étape 5.4.3
Évaluez .
Étape 5.4.3.1
Le déterminant d’une matrice peut être déterminé en utilisant la formule .
Étape 5.4.3.2
Simplifiez le déterminant.
Étape 5.4.3.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 5.4.3.2.1.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.4.3.2.1.2
Multipliez par .
Étape 5.4.3.2.1.3
Multipliez par .
Étape 5.4.3.2.1.4
Multipliez par .
Étape 5.4.3.2.2
Associez les termes opposés dans .
Étape 5.4.3.2.2.1
Soustrayez de .
Étape 5.4.3.2.2.2
Additionnez et .
Étape 5.4.4
Évaluez .
Étape 5.4.4.1
Le déterminant d’une matrice peut être déterminé en utilisant la formule .
Étape 5.4.4.2
Simplifiez le déterminant.
Étape 5.4.4.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 5.4.4.2.1.1
Multipliez par .
Étape 5.4.4.2.1.2
Multipliez par .
Étape 5.4.4.2.2
Soustrayez de .
Étape 5.4.5
Simplifiez le déterminant.
Étape 5.4.5.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 5.4.5.1.1
Multipliez par .
Étape 5.4.5.1.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.4.5.1.3
Multipliez par .
Étape 5.4.5.1.4
Multipliez .
Étape 5.4.5.1.4.1
Multipliez par .
Étape 5.4.5.1.4.2
Multipliez par .
Étape 5.4.5.1.5
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.4.5.1.6
Multipliez par .
Étape 5.4.5.1.7
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 5.4.5.1.8
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 5.4.5.1.8.1
Déplacez .
Étape 5.4.5.1.8.2
Multipliez par .
Étape 5.4.5.1.9
Multipliez par .
Étape 5.4.5.2
Associez les termes opposés dans .
Étape 5.4.5.2.1
Additionnez et .
Étape 5.4.5.2.2
Additionnez et .
Étape 5.4.5.3
Soustrayez de .
Étape 5.5
Évaluez .
Étape 5.5.1
Choose the row or column with the most elements. If there are no elements choose any row or column. Multiply every element in row by its cofactor and add.
Étape 5.5.1.1
Consider the corresponding sign chart.
Étape 5.5.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a position on the sign chart.
Étape 5.5.1.3
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Étape 5.5.1.4
Multiply element by its cofactor.
Étape 5.5.1.5
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Étape 5.5.1.6
Multiply element by its cofactor.
Étape 5.5.1.7
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Étape 5.5.1.8
Multiply element by its cofactor.
Étape 5.5.1.9
Add the terms together.
Étape 5.5.2
Évaluez .
Étape 5.5.2.1
Le déterminant d’une matrice peut être déterminé en utilisant la formule .
Étape 5.5.2.2
Simplifiez le déterminant.
Étape 5.5.2.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 5.5.2.2.1.1
Multipliez par .
Étape 5.5.2.2.1.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.5.2.2.1.3
Multipliez par .
Étape 5.5.2.2.1.4
Multipliez par .
Étape 5.5.2.2.2
Soustrayez de .
Étape 5.5.2.2.3
Additionnez et .
Étape 5.5.3
Évaluez .
Étape 5.5.3.1
Le déterminant d’une matrice peut être déterminé en utilisant la formule .
Étape 5.5.3.2
Simplifiez le déterminant.
Étape 5.5.3.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 5.5.3.2.1.1
Multipliez par .
Étape 5.5.3.2.1.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.5.3.2.1.3
Multipliez par .
Étape 5.5.3.2.1.4
Multipliez par .
Étape 5.5.3.2.2
Soustrayez de .
Étape 5.5.3.2.3
Additionnez et .
Étape 5.5.4
Évaluez .
Étape 5.5.4.1
Le déterminant d’une matrice peut être déterminé en utilisant la formule .
Étape 5.5.4.2
Simplifiez le déterminant.
Étape 5.5.4.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 5.5.4.2.1.1
Multipliez par .
Étape 5.5.4.2.1.2
Multipliez par .
Étape 5.5.4.2.2
Soustrayez de .
Étape 5.5.5
Simplifiez le déterminant.
Étape 5.5.5.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 5.5.5.1.1
Multipliez par .
Étape 5.5.5.1.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.5.5.1.3
Multipliez par .
Étape 5.5.5.1.4
Multipliez .
Étape 5.5.5.1.4.1
Multipliez par .
Étape 5.5.5.1.4.2
Multipliez par .
Étape 5.5.5.1.5
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.5.5.1.6
Multipliez par .
Étape 5.5.5.1.7
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 5.5.5.1.8
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 5.5.5.1.8.1
Déplacez .
Étape 5.5.5.1.8.2
Multipliez par .
Étape 5.5.5.1.9
Multipliez par .
Étape 5.5.5.2
Associez les termes opposés dans .
Étape 5.5.5.2.1
Additionnez et .
Étape 5.5.5.2.2
Soustrayez de .
Étape 5.5.5.3
Additionnez et .
Étape 5.6
Simplifiez le déterminant.
Étape 5.6.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 5.6.1.1
Développez à l’aide de la méthode FOIL.
Étape 5.6.1.1.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.6.1.1.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.6.1.1.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.6.1.2
Simplifiez et associez les termes similaires.
Étape 5.6.1.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 5.6.1.2.1.1
Multipliez par .
Étape 5.6.1.2.1.2
Multipliez par .
Étape 5.6.1.2.1.3
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 5.6.1.2.1.4
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 5.6.1.2.1.4.1
Déplacez .
Étape 5.6.1.2.1.4.2
Multipliez par .
Étape 5.6.1.2.1.4.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 5.6.1.2.1.4.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 5.6.1.2.1.4.3
Additionnez et .
Étape 5.6.1.2.1.5
Multipliez par .
Étape 5.6.1.2.1.6
Multipliez par .
Étape 5.6.1.2.1.7
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 5.6.1.2.1.8
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 5.6.1.2.1.8.1
Déplacez .
Étape 5.6.1.2.1.8.2
Multipliez par .
Étape 5.6.1.2.1.8.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 5.6.1.2.1.8.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 5.6.1.2.1.8.3
Additionnez et .
Étape 5.6.1.2.1.9
Multipliez par .
Étape 5.6.1.2.2
Soustrayez de .
Étape 5.6.1.3
Multipliez par .
Étape 5.6.1.4
Multipliez par .
Étape 5.6.1.5
Multipliez par .
Étape 5.6.2
Soustrayez de .
Étape 5.6.3
Soustrayez de .
Étape 5.6.4
Associez les termes opposés dans .
Étape 5.6.4.1
Soustrayez de .
Étape 5.6.4.2
Additionnez et .
Étape 5.6.5
Remettez dans l’ordre et .
Étape 6
Définissez le polynôme caractéristique égal à pour déterminer les valeurs propres .
Étape 7
Étape 7.1
Factorisez à partir de .
Étape 7.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 7.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 7.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 7.2
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 7.3
Définissez égal à et résolvez .
Étape 7.3.1
Définissez égal à .
Étape 7.3.2
Résolvez pour .
Étape 7.3.2.1
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Étape 7.3.2.2
Simplifiez .
Étape 7.3.2.2.1
Réécrivez comme .
Étape 7.3.2.2.2
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.
Étape 7.4
Définissez égal à et résolvez .
Étape 7.4.1
Définissez égal à .
Étape 7.4.2
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 7.5
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.